Los ejércitos actuales, la prospectiva en la que basan buena parte de sus planes de adquisiciones, los cambios doctrinales y muchos otros aspectos críticos no se entienden por completo si no atendemos al papel que juegan los modelos matemáticos para la simulación de combates. Estos permiten desarrollar juegos de guerra creíbles sobre cuya base los planificadores pueden determinar el tipo y número de fuerzas necesarias para garantizar la victoria, llegado el caso y, más importante que esto, la disuasión, para que no se dé la ocasión de tener que confrontar la teoría con la realidad. Pese a esto, y a los esfuerzos que se han realizado en último siglo, los modelos matemáticos para la simulación de los combates siguen siendo insuficientes para recoger la complejidad del campo de batalla, lo que obliga a redoblar los esfuerzos en tanto es un ámbito capital.
Uno de los principales anhelos de la humanidad ha sido siempre el intentar comprender la realidad que le rodea, tanto a escala microscópica como a escala macroscópica. Conocer por qué y cómo ocurren diferentes tipos de fenómenos (ya sean naturales o debidos a la acción humana) aporta información valiosísima que podría permitir predecir y tomar de decisiones de forma eficiente. En este sentido la modelización matemática tiene por objeto no sólo la descripción en términos matemáticos de dichos fenómenos sino también su estudio mediante el uso de técnicas analíticas y numéricas.
Si la inquietud del ser humano por conocer el mundo es tan antigua como la propia humanidad, es también cierto que los combates y guerras entre los propios humanos han sido una constante desde los albores de la historia. No obstante, el interés por estudiar desde un punto de vista científico y analítico las dinámicas inherentes a las batallas no surge hasta 1916 cuando Frederick William Lanchester propone los primeros modelos (matemáticos) de combate. Es una fecha tardía si la comparamos con la de 1760 cuando aparece el primer modelo matemático (debido a Daniel Bernoulli) para simular la propagación de un agente biológico, o con la de 1798 que es cuando Thomas Robert Malthus publica su trabajo pionero en dinámica de poblaciones.
El análisis científico de la evolución de un cierto conflicto bélico es sin duda un tema de interés, no sólo por el hecho de permitir predecir cuál será la evolución del mismo, sino porque posibilita evaluar la eficacia de diferentes estrategias de combate. De esta manera esta metodología facilita el diseño de herramientas para la toma de decisiones por parte de los mandos militares. Así, el objetivo del presente artículo es mostrar la formulación técnica de las leyes clásicas de Lanchester para el diseño de modelos de combate, analizar su utilidad en los conflictos actuales, y esbozar algunas propuestas en las que se podrían basar los futuros modelos.
Los modelos de combate basados en las leyes de Lanchester
Lanchester, brillante y afamado ingeniero británico en la incipiente industria automotriz y aeronáutica de la época, anticipó en el año 1909 -en contra de la opinión generalizada de la cúpula militar- la importancia que cobraría la aviación en las futuras contiendas. De esta manera, y aparte de otras aportaciones en el ámbito de la ingeniería aeronáutica, durante la I Guerra Mundial se interesó por los combates aéreos e ideó en 1916 un modelo matemático para intentar predecir su desenlace.
En dicho modelo se supone que combaten dos ejércitos, A y B, de manera que se plantea como objetivo el cálculo de la evolución temporal de los tamaños de ambas fuerzas: A(t) -tamaño del ejército A en el instante de tiempo t– y B(t) -tamaño del ejército B en el instante de tiempo t-. La suposición en la que se basó Lanchester para crear su modelo era que el desgaste de cada ejército era directamente proporcional (con constante de proporcionalidad negativa) al tamaño del otro ejército. De esa manera describió la dinámica utilizando el siguiente sistema ecuaciones diferenciales ordinarias:
A‘(t) = – b · B(t),
B’(t) = – a · A(t),
con las siguientes condiciones iniciales (tamaño de los ejércitos al inicio de la contienda, t = 0): A(0) = A0, B(0) =B0. Los coeficientes a y b caracterizan numéricamente las respectivas potencias de fuego de los ejércitos A y B. En dichas ecuaciones los términos de la izquierda de cada igualdad, A’(t) y B’(t), representan las derivadas respecto al tiempo de cada una de las variables A y B, es decir, determinan la variación del valor de dichas variables con respecto al tiempo.
Este sistema de ecuaciones diferenciales se puede resolver de forma exacta y explícita de manera que las curvas, A(t) y B(t), que describen la evolución de los diferentes tamaños son de naturaleza exponencial y decreciente. En la Figura 1 se puede observar dicha evolución en el caso particular de considerar al inicio de la batalla el mismo tamaño en cada ejército, A(0)= B(0) = 100, y tener en cuenta potencias de fuego ligeramente distintas: mayor potencia de fuego en el ejército A, a = 0.5, que en el ejército B, b = 0.4. Obviamente ante un mismo número de fuerzas contrincantes, vencerá aquella que posea mayor potencia de fuego.
Se puede comprobar que existe una ecuación que relaciona ambas variables en cada instante de tiempo (solución implícita del sistema), a saber:
a · A(t)2 – b · B(t)2 = a · A(0)2 – b · B(0)2.
Es decir, el término a · A(t)2 – b · B(t)2 se mantiene constante en cada instante de tiempo t de manera que mientras que la potencia de fuego actúa de forma lineal en el desarrollo del combate, el tamaño del ejército afecta de forma cuadrática: si, por ejemplo, se duplica la potencia de fuego de un ejército entonces se duplican las bajas del ejército enemigo, mientras que si se duplica el tamaño de un ejército, el efecto que produce en el desgaste del ejército enemigo es de naturaleza cuadrática. Si suponemos que la victoria se produce cuando uno de los dos ejércitos queda totalmente aniquilado (condición demasiado “fuerte” pero que consideramos aquí ya que fue la originalmente utilizada por Lanchester) entonces de la anterior relación se deduce que, por ejemplo (y sin pérdida de generalidad), el ejército A ganaría la batalla cuando la relación inicial de fuerzas cumpliera la siguiente condición:
Asimismo, a partir del análisis matemático podemos determinar tanto el instante de tiempo concreto en el que se alcanza la victoria como el tamaño del ejército vencedor en dicho momento. Por otra parte, la descripción matemática nos permite también evaluar posibles estrategias que puede seguir el ejército vencedor para reducir al mínimo posible sus bajas.
Este modelo se conoce como modelo de fuego dirigido o modelo cuadrático [14]. Se trata de un modelo “simétrico” en el sentido de que las ecuaciones que lo describen son análogas en ambos casos de manera que el comportamiento de ambos ejércitos en el campo de batalla es similar (salvo por el número de efectivos y su potencia de fuego). Este modelo se aplica en situaciones de combate convencional donde los ejércitos se enfrentan abiertamente en el campo de batalla haciendo uso de tácticas clásicas como la concentración de efectivos y el uso eficiente de la potencia de fuego.
R.H.Peterson modificó en 1953 el anterior modelo considerando que las bajas de cada ejército dependían única y exclusivamente del tamaño del propio ejército (cuanto más numeroso es un ejército más bajas sufre durante el combate). Recibe el nombre de modelo logarítmico [16] y el sistema de ecuaciones diferenciales que describe su dinámica es el siguiente:
A‘(t) = – a · A(t),
B’(t) = – b · B(t).
Una modificación más sofisticada del modelo de fuego dirigido fue realizada por el propio Lanchester proponiendo el llamado modelo de guerrilla o modelo lineal en el que se considera que las bajas sufridas por un ejército no sólo depende del tamaño y de la potencia de fuego del ejército enemigo sino también de la concentración de fuerzas del propio ejército [4]. Matemáticamente se describe por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
A‘(t) = – b · B(t) · A(t),
B’(t) = – a · A(t) · B(t),
En la Figura 2 se puede observar la evolución del tamaño de los dos ejércitos cuando se combate bajo los dos modelos (en trazo continuo el caso del modelo de fuego dirigido y en trazo discontinuo el caso del modelo de guerrilla).
Se puede observar como, en igualdad de condiciones iniciales, el modelo de guerrilla es más “agresivo” en el sentido de que se consigue antes la victoria (entendida como aniquilación total del ejército perdedor) aunque con un coste mayor en cuanto a pérdidas del ejército vencedor.
En el caso del modelo de guerrilla es posible también calcular las soluciones de manera explícita obteniendo también curvas de naturaleza exponencial relacionadas linealmente como sigue:
a · A(t)– b · B(t)= a · A(0) – b · B(0).
Obsérvese como en este caso tanto la potencia de fuego como el tamaño de las dos fuerzas combatientes afectan de forma lineal al desenlace del mismo. Debido a eso este modelo es adecuado para simular conflictos asimétricos donde la superioridad numérica o tecnológica de una fuerza no garantiza el éxito debido a la naturaleza evasiva y adaptativa de la fuerza menos numerosa.
A diferencia del modelo de fuego dirigido convencional, el modelo de guerrilla de Lanchester da importancia a la capacidad de la fuerza más débil para evadir y desgastar a la fuerza más fuerte a lo largo del tiempo. Se basa en la idea de que el ejército menos numeroso no persigue el enfrentamiento directo, sino que busca minar la capacidad y la voluntad del enemigo a través de tácticas de guerrilla.
Ambos modelos, el de fuego dirigido y el de guerrilla, se pueden combinar dando lugar al llamado modelo mixto desarrollado y estudiado por H. Brackney (1956) y S.J. Deitchman (1962) [2,4]. Este modelo es adecuado para describir situaciones de combate en donde un ejército es atacado por sorpresa (supongamos que es el ejército B) de manera que las fuerzas atacantes (el ejército A) poseen cierta ventaja sobre las fuerzas atacadas: conocen la ubicación del otro ejército y pueden anticipar los objetivos a atacar y observar el daño causado. Por otra parte, el ejército que es atacado no puede anticipar la presencia y disposición de las fuerzas que le atacan. Consecuentemente las bajas causadas en el ejército atacante (A) se pueden simular mediante el modelo de fuego dirigido mientras que las bajas del ejército atacado pueden describirse por un modelo de guerrilla. Así pues, la dinámica viene descrita por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
A‘(t) = – b · B(t),
B’(t) = – a · A(t) · B(t),
En la Figura 3 se pueden observar las evoluciones temporales de los tamaños de los distintos ejércitos cuando se consideran las condiciones iniciales A(0) = B(0) = 100 y a = 0.05, b = 0.04. Se observa como en este caso las bajas causadas en el ejército A son mínimas, mientras este aniquila rápidamente todas las fuerzas del ejército B.
En los modelos anteriormente mencionados no se considera que haya durante la batalla un reemplazamiento de fuerzas o un refuerzo con nuevas unidades. Esto fue considerado por P. Morse y G.E. Kimball en 1951 de manera que el modelo propuesto se describía por el siguiente sistema de ecuaciones [15]:
A‘(t) = NA – a1 · A(t) – b1 · B(t),
B’(t) = NB – a2 · A(t) – b2 · B(t),
donde NA y NB indican el número de unidades de cada ejército que se incorporan a la batalla por unidad de tiempo, y a1, a2 , b1, y b2 representan las potencias de combate en cada caso. Este modelo dio lugar al llamado modelo general de Lanchester:
A‘(t) = NA – a1 · A(t) – b1 · A(t)p · B(t) q,
B’(t) = NB – a2 · B(t) – b2· A(t) r · B(t) s,
donde los exponentes p, q, r y s se determinan teniendo en cuenta las características de la interacción entre los dos ejércitos tanto en ataque como en defensa. Este modelo fue utilizado por J. Bracken y R.D. Fricker Jr. [1,6] para estudiar de forma detallada el desarrollo de la batalla de tanques en Las Ardenas (II Guerra Mundial) ya que, en este caso, se cuentan con datos bastantes fidedignos sobre el número de bajas que se iban produciendo de manera diaria de tanques, vehículos blindados, artillería y soldados, lo cual permite estimar de manera bastante eficaz los coeficientes que intervienen en el modelo. Dada la existencia de esta base de datos, con posterioridad han aparecido muchos otros trabajos abundando en el estudio matemático de esta batalla. Este mismo modelo teórico ha sido utilizado también por I. Johnson y N. MacKay para estudiar la batalla, en este caso aérea, de Inglaterra [10].
Modelos de combate basados en ecuaciones en derivadas parciales
La familia de modelos de Lanchester es de naturaleza determinista (ante las mismas condiciones iniciales, la evolución de las variables A(t) y B(t) siempre es la misma) y global:
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